LIMIT FUNGSI

Limit fungsi

A.    Pengertian Limit Fungsi.

 Limit Fungsi di Suatu Titik

  • Menggambarkan prilaku fungsi jika peubahnya mendekati suatu titik
  • Ilustrsi

Diketahui

f(x)

f(x)

3

x→1←x

1

y

x

 

x

f(x)

1,1

3,310

1,01

3,030

1,001

3,0003

1,000

?

0,999

2,997

0,99

2,970

0,9

2,710

 

  • Dari tabel dan grafik:

Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin ke 3, dengan cara menggambil x yang cukup dekat ke 1, tetapi x 1.

  • Notasi
  • Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a, kecuali mungkin di a, limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L, ditulis

 

Limit di satu sisi

Nilai limit ada jika limit kiri = limit kanan ( x→a dari kiri atau x<a dan limit x→a dari kanan atau x>a).

Notasi limit kanan

Notasi limit kiri

Catatan: Tanda (+) dan (-) pada  dan  menunjukkan bahwa arah ketika mendekati x = a adalah dari arah kanan dan kiri.

B.     Limit Fungsi Aljabar

a.      Menentukan Limit Fungsi Aljabar yang Berbentuk 

 

Metode Subtitusi Langsung.

 Subtitusi nilai x = bilangan tertentu jika terbentuk bilangan tertentu atau 0 atau  maka bilangan tersebut merupakan hasil.

Untuk memahami cara menentukan limit fungsi aljabar yang berbentuk   dengan metode subtitusi langsung, simaklah contoh berikut ini:

Hitunglah nilai limit fungsi:

a)

b)

Jawab:

a)

b)

Metode Pemfaktoran.

 

Jika diperoleh bilangan  disebut bentuk tak tentu dan tidak didefinisikan. Oleh karena itu, diperlukan upaya lain. Salah satunya dengan cara mencari faktor persekutuan yang sama antara bagian pembilang dengan bagian penyebut. Setalah diperoleh faktor yang sama, selanjutnya bentuk fungsi tersebut disederhanakan. Jadi, secara umum, pengerjaan limit fungsiyang mempunyai bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan menggunakametode pemfartoran.

Misalkan  Upayakan f(x) dan g(x) memiliki faktoryang sama dan faktoryang sama itu adalah (xa), sehingga:

Perhatikan bahwa , sebab nilai   hanya dekat dengan a sehingga x-a 0

=  dengan syarat p(x) ≠ 0 dan q(x) ≠ 0.

Perhatikan contoh berikut:

Hitunglah nilai

Jawab:

  1. b.      Menentukan Limit Fungsi yang Berbentuk
  • Pengertian Tak Hingga.

 

  • Ketika x mendekati a dari arah kiri, nilai fungsi f(x) menjadi besar tanpa batas atau menuju tak hingga. Pernyataan demikian ditulis:
  • Ketika x mendekati a dari arah kanan, nilai fungsi f(x) juga menjadi besar tanpa batas atau menuju tak hingga. Pernyataan demukian ditulis:
  • Ketika x mendekati nilai a (dari arah kiri maupun arah kanan), nilai fungsi f(x) menjadi besar tanpa batas atau menuju tak hingga. Pernyataan demikian ditulis:
  • Ketika x mendekati nilai a dari arah kiri maka nilai fungsi f(x) menjadi sangat kecil tanpa batas. Ditulis:
  • Ketika x mendekati nilai a dari arah kanan maka nilai dari fungsi f(x) juga menjadi sangat kecil tanpa batas. Ditulis:

 

  • Ketika x mendekati nilai a (dari arah kiri maupun dari arah kanan) maka nilai fungsi f(x) menjadi kecil tanpa batas. Ditulis:
  • Limit x Mendekati Tak Hingga.

 

Misalkan fungsi f ditentukan oleh f(x) =  dengan daerah asalnya adalah

Df = .

Jika nilai x semakin besar . maka nilai fungsi f(x) semakin kecil sedangkan jika x sangat besar sekali (x→∞) maka nilai fungsi f(x) mendekati nol. Pernyataan ini ditulis:

 

  • Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika x→∞

 

Pada bahasan ini akan dijelaskan cara menentukan limit fungsi aljabar (bentuk tertentu), jika x→∞ dengan membagi pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi dan mengalikan dengan faktor lawan.

 

  1. 1.      Membagi Penbilang dan Penyebut dengan Variabel Pangkat Tertinggi

 

Limit fungsi yang berbentuk  dapat diselesaikan dengan cara membagi bagian pembilang f(x) dan bagian penyebut g(x) dengan  dengan n adalah pangkat tertinggi dari f(x) atau g(x). 

Catatan: Untuk setiap n bilangan positif dan a bilangan real, maka .

Berdasarkan derajat dan koefisien pangkat tertinggi,  dapat ditetapkan sebagai berikut.

  1. Jika derajat f(x) = derajat g(x) maka
  1. i.    Jika derajat f(x) > derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi

f(x) bernilai positif, maka

  1. ii.   Jika derajat f(x) > derajat g(x) dan koefisien pangkat tertingg

f(x) bernilai negatif, maka

  1. Jika derajat f(x) < derajat g(x) maka

CONTOH:

Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini.

a).                                  c).

b).                                          d).

JAWAB:

a).   Derajat f(x) = derajat g(x). Berdasarkan ketentuan pada butir 1 maka:

=

b).  Derajat f(x) > derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) adalah 2 (bernilai positif). Berdasarkan ketentuan pada butir 2 bagian (i).

c).   Derajat f(x) > derajat g(x) dan koefisien pangkat tertinggi f(x) adalah -4 (bernilai negatif). Berdasarkan ketentuan pada butir 2 bagian (ii).

d).  Derajat f(x) < derajat g(x). Berdasarkan ketentuan pada butir 3 maka:

  1. 2.      Mengalikan dengan Faktor Lawan.

 

Limit fungsi berbentuk  dapat diselesaikan dengan cara mangalikan dengan faktor lawan, yaitu  .

Contoh:

Hitunglah limit fungsi berikut ini.

a).

b).

Jawab

a)

=

=  (perhatikan ketentuan butir 2 bagian (ii))

Jadi,

b)

=

=

=  (ketentuan pada butir 1)

Jadi,

  1. C.    Teorema Limit

 

Sifat-sifat fungsi dapat dirangkum dalam Teorema Limit sebagai berikut.

  1. Jika f(x) = maka  (untuk setiap k konstan dan a bilangan real).
  2. Jika f(x) = x maka  (untuk setiap a  bilangan real).
  3. a).

b).

  1. jika k suatu konstanta maka
  2. a).

b).  dengan

  1. a). .

b).  , dengan  untuk n genap.

Contoh

Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini.

a).                              b).

Jawab

a).

=  (Teorema 3a dan 3b)

= 3  (Teorema 4)

=  (Teorema 1,2 dan 6a)

Jadi,

b).

=  (Teorema 5b)

=  (Teorema 6b dan 2)

=   (Teprema 3a)

=  (Teorema 6a)

=  (Teorema 1 dan 2)

Jadi,

  1. D.    Limit Fungsi Trigonometri

 

Dalam beberapa kasus, penyelesaian limit fungsi trigonometri hamper sama dengan penyelasaian limit fungsi aljabar, misalnya dengan metode subtirusi langsung atau dengan metode pemfektoran. Rumus-rumus trigonometri dan Teorema Limit yang pernah dipelajari dapat membantu untuk menyelesaikan limit-limit fungsi trigonometri.

Contoh 1

Hitunglah nilai limit-limit fungsi trigonometri berikut ini.

a).                              b).

Jawab

a).

Jadi,

b).

Jadi,

Contoh 2

Hitunglah limit

Jawab

Penyelesaian dengan subtitusi lansung diperoleh

Karena di dapat  maka harus diupayakan dengan cara lainsebagai berikut.

Karena sin 2x = 2 sin x cos x, maka:

=

 

Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri.

                                                         

Limit fungsi trigonometri dapat puladiselesaikan dengan menggunakan rumus. Rumus-rumus funsi trigonometri yang dimaksudkan itu adalah:

                

Rumus-rumus fungsi trigonometri dasar di atas dapat diperluas. Misalkan u adalah fungsi dari x dan jika x0, sehingga rumus-rumus tersebut dapat dituliskan menjadi:

Contoh

Hitunglah limit-limit berikut.

a).              b).                      c).

Jawab

a).    Misalkan 6x = u, maka x = . Jika x→0 maka u→0, sehingga:

Jadi,

b).   Misalkan  Jika  maka u→0, sehingga:

Jadi,

c)

Untuk x ≠ 0,

=

= .

Jadi,  .

Dari contoh di atas dapat disimpulkan dengan rumus:

LATIHAN

  1. Tentukan limit fungsi f(x) berikut ini dengan cara menghitung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang didekati.

 jika x mendekati 0.

  1. Hitunglah nilai dari
  1. Tunjukkan bahwa
  2. Hitunglah limit fungsi berikut dengan menggunakan Teorema Limit
  3. Hitunglah limit fungsi Trigonometri berikut.

 

 

 

 

 

 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s